六 01

NOI 2005 聪聪与可可

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首先要求出每对点之间的最短路径(All Pairs Shortest Path,APSP)，需要记录的是path[i][j]，表示在i点时，通向j的最短路径上比i更接近j的一个点。

然后动态规划，状态 F[i][j] 表示猫在i，老鼠在j时，猫追上老鼠的步数的数学期望。Degree(i)为点i的度。

状态转移方程

F[i][j]=sigma{ F[i'][j'] / ( Degree(j) + 1 ) } + 1

最终结果

F[C][M]

?View Code CPP
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/* 
 * Problem: NOI2005 cchkk
 * Author: Guo Jiabao
 * Time: 2009.6.1 17:30
 * State: Solved
 * Memo: 动态规划 期望计算
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;
const int MAXN=1001;
struct edge
{
	edge *next;
	int t;
}*V[MAXN],ES[MAXN*2];
int N,M,X,Y,EC;
int dist[MAXN],path[MAXN][MAXN],deg[MAXN],Q[MAXN];
double F[MAXN][MAXN];
bool flag[MAXN];
inline void addedge(int a,int b)
{
	ES[++EC].next = V[a];
	V[a]=ES+EC; V[a]->t=b;
	deg[a]++;
}
void init()
{
	int i,j,a,b;
	freopen("cchkk.in","r",stdin);
	freopen("cchkk.out","w",stdout);
	scanf("%d%d%d%d",&N,&M,&X,&Y);
	for (i=1;i<=M;i++)
	{
		scanf("%d%d",&a,&b);
		addedge(a,b);
		addedge(b,a);
	}
	for (i=1;i<=N;i++)
	{
		for (j=1;j<=N;j++)
			F[i][j]=-1;
		F[i][i]=0;
	}
}
void APSP()
{
	int i,j,k,head,tail;
	for (k=1;k<=N;k++)
	{
		memset(dist,-1,sizeof(dist));
		dist[k]=0;
		path[k][k]=k;
		for (Q[head=tail=0]=k;head<=tail;)
		{
			i=Q[head++];
			for (edge *e=V[i];e && (j=e->t);e=e->next)
			{
				if (dist[j] == -1)
				{
					dist[j] = dist[i] + 1;
					path[j][k] = i;
					Q[++tail]=j;
				}
				else if (dist[j] == dist[i] + 1 && i < path[j][k])
					path[j][k] = i;
			}
		}
	}
}
double dp(int i,int j)
{
	if (F[i][j]==-1)
	{
		double rs=0;
		int x = path[ path[i][j] ][j];
		rs = dp(x,j) + 1;
		if (x!=j)
		{
			for (edge *e=V[j];e;e=e->next)
				rs += dp(x,e->t) + 1;
			rs /= deg[j] + 1;
		}
		F[i][j]=rs;
	}
	return F[i][j];
}
 
int main()
{
	init();
	APSP();
	printf("%.3lfn",dp(X,Y));
	return 0;
}

聪聪与可可

【问题描述】

在一个魔法森林里，住着一只聪明的小猫聪聪和一只可爱的小老鼠可可。虽然灰姑娘非常喜欢她们俩，但是，聪聪终究是一只猫，而可可终究是一只老鼠，同样不变的是，聪聪成天想着要吃掉可可。

一天，聪聪意外得到了一台非常有用的机器，据说是叫GPS，对可可能准确的定位。有了这台机器，聪聪要吃可可就易如反掌了。于是，聪聪准备 马上出发，去找可可。而可怜的可可还不知道大难即将临头，仍在森林里无忧无虑的玩耍。小兔子乖乖听到这件事，马上向灰姑娘报告。灰姑娘决定尽快阻止聪聪， 拯救可可，可她不知道还有没有足够的时间。

整个森林可以认为是一个无向图，图中有N个美丽的景点，景点从1至N编号。小动物们都只在景点休息、玩耍。在景点之间有一些路连接。

当聪聪得到GPS时，可可正在景点M(M≤N)处。以后的每个时间单位，可可都会选择去相邻的景点(可能有多个)中的一个或停留在原景点不 动。而去这些地方所发生的概率是相等的。假设有P个景点与景点M相邻，它们分别是景点R、景点S，……景点Q，在时刻T可可处在景点M，则在(T＋1)时 刻，可可有1/(P+1)的可能在景点R，有1/(P+1)的可能在景点S，……，有1/(P+1)的可能在景点Q，还有1/(P+1)的可能停在景点 M。

我们知道，聪聪是很聪明的，所以，当她在景点C时，她会选一个更靠近可可的景点，如果这样的景点有多个，她会选一个标号最小的景点。由于聪聪太想吃掉可可了，如果走完第一步以后仍然没吃到可可，她还可以在本段时间内再向可可走近一步。

在每个时间单位，假设聪聪先走，可可后走。在某一时刻，若聪聪和可可位于同一个景点，则可怜的可可就被吃掉了。灰姑娘想知道，平均情况下，聪聪几步就可能吃到可可。而你需要帮助灰姑娘尽快的找到答案。

【输入文件】

  • 从文件中读入数据。
  • 数据的第1行为两个整数N和E，以空格分隔，分别表示森林中的景点数和连接相邻景点的路的条数。
  • 第2行包含两个整数C和M，以空格分隔，分别表示初始时聪聪和可可所在的景点的编号。
  • 接下来E行，每行两个整数，第i+2行的两个整数Ai和Bi表示景点Ai和景点Bi之间有一条路。
  • 所有的路都是无向的，即：如果能从A走到B，就可以从B走到A。
  • 输入保证任何两个景点之间不会有多于一条路直接相连，且聪聪和可可之间必有路直接或间接的相连。

【输出文件】

  • 输出到文件中。
  • 输出1个实数，四舍五入保留三位小数，表示平均多少个时间单位后聪聪会把可可吃掉。

【样例输入1】

4 3
1 4
1 2
2 3
3 4

【样例输出1】

1.500

【样例说明1】

开始时，聪聪和可可分别在景点1和景点4。

第一个时刻，聪聪先走，她向更靠近可可(景点4)的景点走动，走到景点2，然后走到景点3；假定忽略走路所花时间。

可可后走，有两种可能：

第一种是走到景点3，这样聪聪和可可到达同一个景点，可可被吃掉，步数为1，概率为 0.5。 第二种是停在景点4，不被吃掉。概率为 0.5。

到第二个时刻，聪聪向更靠近可可(景点4)的景点走动，只需要走一步即和可可在同一景点。因此这种情况下聪聪会在两步吃掉可可。

所以平均的步数是1* 0.5+2* 0.5=1.5步。

【样例输入2】

9 9
9 3
1 2
2 3
3 4
4 5
3 6
4 6
4 7
7 8
8 9

【样例输出2】

2.167

【样例说明2】

森林如下图所示：

Image:Cchkk.gif

【数据范围】

  • 对于所有的数据，1≤N,E≤1000。
  • 对于50%的数据，1≤N≤50。

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