Beyond the Void

明年将是省选的日子，转眼又是一年。与上次不同，这次省选过后，我的OI生涯就只剩下区区3个月了（也可能会立即彻底结束）。

这一年过来，我的水平没有达到我期望的高度，总结一下原因，关键在于这几点：

1. 浮躁的学习态度，对于各种算法浅尝辄止，尤其表现在高一初次学习的时候；
2. 不合理的时间安排，对文化课和竞赛的学习不能有机调和，总是顾此失彼；
3. 过于功利化地看待OI，认为OI是一条通往理想大学的捷径，忽略了全面发展；
4. 总是被一点小小的失败困扰，为一些小小的成绩骄傲，心浮气躁。

冲击NOI和文化课的努力学习是存在着某种冲突的，至少在我的能力范围之内是如此。我已经清楚地认识到了这一点，该如何选择？高翔在OI前途一片大好的时候，突然选择了放弃冲击NOI，要去好好准备保送生考试了，尽管还有半年。我非常佩服他激流勇退的精神，只是常人罕见的胸怀才能接受的。

在这次省选之前，我还在犹豫，我想明天过后结果就会出来了。我要准备好接受现实。我想，我应该彻底抛弃心理负担。毕竟我有很多机会，省选不成，还有夏令营；NOI不成，还有NOIP的保送；保送不成，还有高考；高考不成，还可以考虑出国……总之，天无绝人之路。

不可改变的是时光荏苒，可以改变的是我的心态。我究竟能不能走通NOI这条路，还看我自己。从现在开始，我要改变我自己。

赐予我力量，去改变我所能改变的；赐予我勇气，去接受我不能改变的；并赐予我智慧，去分辨这两者。

首先求出每个A*B的矩阵的数值和，以及每个C*D的矩阵的数值和，用递推的方法可以达到O(N*M)。
接下来，求出每个(A-2)*(B-2)范围内最小的C*D的矩阵（因为花坛不能建在绿化带边缘），可以用单调队列的方法递推，时间复杂度为O(N*M)。最后对于每个A*B的局限，求出其范围内最小的花坛，时间复杂度为O(N*M)，总的时间复杂度就是O(N*M)。

这道题本身不难，关键在仔细处理好递推的边界。
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这是一个动态规划可行性判定问题。

设玩具名字的字符串为A，状态 F[i,j,k] 表示A中，从第i位到第j位，是否可以变换成字符k。

状态转移方程

F[i,j,k] = Or{F[i,l,k1] And F[l+1,j,k2] | i<=l<=j-1 且字符[k1k2]可以变换成k }

边界条件

F[i,i,A[i]]=true

目标结果

F[1,N,k]

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原来背包问题还有这种解法，动态规划+容斥原理。由于有tot次询问，如果对每次询问单独都做一次多重背包问题，会超时。有一种一次预处理，每次询问只有O(1)的神奇解法：容斥原理。

设F[i]为不考虑每种硬币的数量限制的情况下，得到面值i的方案数。则状态转移方程为

F[i]=Sum{F[i-C[k]] | i-C[k]>=0 且 k=1..4}

为避免方案重复，要以k为阶段递推，边界条件为F[0]=1，这样预处理的时间复杂度就是O(S)。

接下来对于每次询问，奇妙的解法如下：根据容斥原理，答案为 得到面值S的超过限制的方案数 – 第1种硬币超过限制的方案数 – 第2种硬币超过限制的方案数 – 第3种硬币超过限制的方案数 – 第4种硬币超过限制的方案数 + 第1,2种硬币同时超过限制的方案数 + 第1,3种硬币同时超过限制的方案数 + …… + 第1,2,3,4种硬币全部同时超过限制的方案数。

当第1种硬币超过限制时，只要要用到D[1]+1枚硬币，剩余的硬币可以任意分配，所以方案数为 F[ S - (D[1]+1)*C[1] ]，当且仅当(S – (D[1]+1)*C[1])>=0，否则方案数为0。其余情况类似，每次询问只用问16次，所以询问的时间复杂度为O(1)。
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前两问是最短路，第三问是标准的次短路径。求法是先求出最短路径，然后枚举每条从S到T的最短路径上的边，删除以后再求一次最短路径，保留最小值就是次短路径。
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