NOI 2005 聪聪与可可

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首先要求出每对点之间的最短路径(All Pairs Shortest Path,APSP),需要记录的是path[i][j],表示在i点时,通向j的最短路径上比i更接近j的一个点。

然后动态规划,状态 F[i][j] 表示猫在i,老鼠在j时,猫追上老鼠的步数的数学期望。Degree(i)为点i的度。

状态转移方程

F[i][j]=sigma{ F[i'][j'] / ( Degree(j) + 1 ) } + 1

最终结果

F[C][M]

/* 
 * Problem: NOI2005 cchkk
 * Author: Guo Jiabao
 * Time: 2009.6.1 17:30
 * State: Solved
 * Memo: 动态规划 期望计算
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;
const int MAXN=1001;
struct edge
{
    edge *next;
    int t;
}*V[MAXN],ES[MAXN*2];
int N,M,X,Y,EC;
int dist[MAXN],path[MAXN][MAXN],deg[MAXN],Q[MAXN];
double F[MAXN][MAXN];
bool flag[MAXN];
inline void addedge(int a,int b)
{
    ES[++EC].next = V[a];
    V[a]=ES+EC; V[a]->t=b;
    deg[a]++;
}
void init()
{
    int i,j,a,b;
    freopen("cchkk.in","r",stdin);
    freopen("cchkk.out","w",stdout);
    scanf("%d%d%d%d",&N,&M,&X,&Y);
    for (i=1;i<=M;i++)
    {
        scanf("%d%d",&a,&b);
        addedge(a,b);
        addedge(b,a);
    }
    for (i=1;i<=N;i++)
    {
        for (j=1;j<=N;j++)
            F[i][j]=-1;
        F[i][i]=0;
    }
}
void APSP()
{
    int i,j,k,head,tail;
    for (k=1;k<=N;k++)
    {
        memset(dist,-1,sizeof(dist));
        dist[k]=0;
        path[k][k]=k;
        for (Q[head=tail=0]=k;head<=tail;)
        {
            i=Q[head++];
            for (edge *e=V[i];e && (j=e->t);e=e->next)
            {
                if (dist[j] == -1)
                {
                    dist[j] = dist[i] + 1;
                    path[j][k] = i;
                    Q[++tail]=j;
                }
                else if (dist[j] == dist[i] + 1 && i < path[j][k])
                    path[j][k] = i;
            }
        }
    }
}
double dp(int i,int j)
{
    if (F[i][j]==-1)
    {
        double rs=0;
        int x = path[ path[i][j] ][j];
        rs = dp(x,j) + 1;
        if (x!=j)
        {
            for (edge *e=V[j];e;e=e->next)
                rs += dp(x,e->t) + 1;
            rs /= deg[j] + 1;
        }
        F[i][j]=rs;
    }
    return F[i][j];
}

int main()
{
    init();
    APSP();
    printf("%.3lfn",dp(X,Y));
    return 0;
}
<h2><span class="mw-headline">聪聪与可可 </span></h2>

【问题描述】

在一个魔法森林里,住着一只聪明的小猫聪聪和一只可爱的小老鼠可可。虽然灰姑娘非常喜欢她们俩,但是,聪聪终究是一只猫,而可可终究是一只老鼠,同样不变的是,聪聪成天想着要吃掉可可。

一天,聪聪意外得到了一台非常有用的机器,据说是叫GPS,对可可能准确的定位。有了这台机器,聪聪要吃可可就易如反掌了。于是,聪聪准备 马上出发,去找可可。而可怜的可可还不知道大难即将临头,仍在森林里无忧无虑的玩耍。小兔子乖乖听到这件事,马上向灰姑娘报告。灰姑娘决定尽快阻止聪聪, 拯救可可,可她不知道还有没有足够的时间。

整个森林可以认为是一个无向图,图中有N个美丽的景点,景点从1至N编号。小动物们都只在景点休息、玩耍。在景点之间有一些路连接。

当聪聪得到GPS时,可可正在景点M(M≤N)处。以后的每个时间单位,可可都会选择去相邻的景点(可能有多个)中的一个或停留在原景点不 动。而去这些地方所发生的概率是相等的。假设有P个景点与景点M相邻,它们分别是景点R、景点S,……景点Q,在时刻T可可处在景点M,则在(T+1)时 刻,可可有1/(P+1)的可能在景点R,有1/(P+1)的可能在景点S,……,有1/(P+1)的可能在景点Q,还有1/(P+1)的可能停在景点 M。

我们知道,聪聪是很聪明的,所以,当她在景点C时,她会选一个更靠近可可的景点,如果这样的景点有多个,她会选一个标号最小的景点。由于聪聪太想吃掉可可了,如果走完第一步以后仍然没吃到可可,她还可以在本段时间内再向可可走近一步。

在每个时间单位,假设聪聪先走,可可后走。在某一时刻,若聪聪和可可位于同一个景点,则可怜的可可就被吃掉了。灰姑娘想知道,平均情况下,聪聪几步就可能吃到可可。而你需要帮助灰姑娘尽快的找到答案。

【输入文件】
  • 从文件中读入数据。
  • 数据的第1行为两个整数N和E,以空格分隔,分别表示森林中的景点数和连接相邻景点的路的条数。
  • 第2行包含两个整数C和M,以空格分隔,分别表示初始时聪聪和可可所在的景点的编号。
  • 接下来E行,每行两个整数,第i+2行的两个整数Ai和Bi表示景点Ai和景点Bi之间有一条路。
  • 所有的路都是无向的,即:如果能从A走到B,就可以从B走到A。
  • 输入保证任何两个景点之间不会有多于一条路直接相连,且聪聪和可可之间必有路直接或间接的相连。

    【输出文件】

  • 输出到文件中。

  • 输出1个实数,四舍五入保留三位小数,表示平均多少个时间单位后聪聪会把可可吃掉。

    【样例输入1】

    4 3
      1 4
      1 2
      2 3
      3 4
    【样例输出1】
    1.500
    【样例说明1】

    开始时,聪聪和可可分别在景点1和景点4。

    第一个时刻,聪聪先走,她向更靠近可可(景点4)的景点走动,走到景点2,然后走到景点3;假定忽略走路所花时间。

    可可后走,有两种可能:

    第一种是走到景点3,这样聪聪和可可到达同一个景点,可可被吃掉,步数为1,概率为 0.5。 第二种是停在景点4,不被吃掉。概率为 0.5。

    到第二个时刻,聪聪向更靠近可可(景点4)的景点走动,只需要走一步即和可可在同一景点。因此这种情况下聪聪会在两步吃掉可可。

    所以平均的步数是1 0.5+2 0.5=1.5步。

    【样例输入2】

    9 9
      9 3
      1 2
      2 3
      3 4
      4 5
      3 6
      4 6
      4 7
      7 8
      8 9
    【样例输出2】
    2.167
    【样例说明2】

    森林如下图所示:

    Image:Cchkk.gif

    【数据范围】

  • 对于所有的数据,1≤N,E≤1000。

  • 对于50%的数据,1≤N≤50。

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