线性规划与网络流24题-魔术球问题

【问题分析】

枚举答案转化为判定性问题,然后最小路径覆盖,可以转化成二分图最大匹配,从而用最大流解决。

【建模方法】

枚举答案A,在图中建立节点1..A。如果对于i<j有i+j为一个完全平方数,连接一条有向边(i,j)。该图是有向无环图,求最小路径覆盖。如果刚好满足最小路径覆盖数等于N,那么A是一个可行解,在所有可行解中找到最大的A,即为最优解。

具体方法可以顺序枚举A的值,当最小路径覆盖数刚好大于N时终止,A-1就是最优解。

【建模分析】

由于是顺序放球,每根柱子上的球满足这样的特征,即下面的球编号小于上面球的编号。抽象成图,把每个球看作一个顶点,就是编号较小的顶点向编号较大的顶点连接边,条件是两个球可以相邻,即编号之和为完全平方数。每根柱子看做一条路径,N根柱子要覆盖掉所有点,一个解就是一个路径覆盖。

最小路径覆盖数随球的数量递增不递减,满足单调性,所以可以枚举答案(或二分答案),对于特定的答案求出最小路径覆盖数,一个可行解就是最小路径覆盖数等于N的答案,求出最大的可行解就是最优解。本问题更适合枚举答案而不是二分答案,因为如果顺序枚举答案,每次只需要在残量网络上增加新的节点和边,再增广一次即可。如果二分答案,就需要每次重新建图,大大增加了时间复杂度。

魔术球问题
问题描述: 假设有 n 根柱子,现要按下述规则在这 n 根柱子中依次放入编号为 1,2,3,...的球。
(1)每次只能在某根柱子的最上面放球。
(2)在同一根柱子中,任何 2 个相邻球的编号之和为完全平方数。
试设计一个算法,计算出在 n 根柱子上最多能放多少个球。例如,在 4 根柱子上最多可放 11 个球。
́编程任务:
对于给定的 n,计算在 n 根柱子上最多能放多少个球。
数据输入: 由文件 input.txt 提供输入数据。文件第 1 行有 1 个正整数 n,表示柱子数。
结果输出: 程序运行结束时,将 n 根柱子上最多能放的球数以及相应的放置方案输出到文件output.txt 中。文件的第一行是球数。接下来的 n 行,每行是一根柱子上的球的编号。
输入文件示例
input.txt
4
输出文件示例
output.txt
11
1 8
2 7 9
3 6 10
4 5 11

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